filonet.org

Lògica

4. Mètodes per establir la validesa dels raonaments

 

	1	Raonaments vàlids
	2	Mètodes semàntics
		2.1 Ús de taules
		2.2 Prova indirecta / d'invalidesa /reducció a l'absurd
		2.3 Arbres lògics
	3	Mètodes sintàctics
		3.1 Mètodes axiomàtics
		3.2 Deducció natural
			Regles d’inferència
	4	Conclusió

 

1. Raonaments vàlids

Amb les nocions introduïdes fins aquí, es disposa ja d’un llenguatge formalitzat, amb què és possible expressar qualsevol raonament de lògica d’enunciats; basta indicar els mètodes que decideixen quines són les seqüències de fórmules que representen un raonament vàlid. Sobre aquestes seqüències de fórmules, és possible fer afirmacions de tipus semàntic, basades en l’atribució de la noció de veritat, o bé de tipus sintàctic, basades en la noció de equivalència. Les primeres són pròpies dels mètodes semàntics, i les segones dels sintàctics.

2. Mètodes semàntics

Un seqüent és una afirmació (feta en metallenguatge) sobre un conjunt de fórmules lògiques (les premisses i la conclusió), utilitzant el signe de «conseqüència lògica». Per exemple, el conjunt

(p ® q), ¬q ╞ ¬p (on el signe "╞" significa «conseqüència lògica») pot representar a manera d'esquema el raonament següent:

«Si Anna somia, dorm.

Anna està somiant, per tant dorm»

del qual s’afirma que si els dos primers enunciats són verdaders, ho és també el tercer: que aquest se segueix lògicament dels altres dos..

 

    2.1) Ús de taules

L’ús de taules de veritat és una de les formes bàsiques que podem emprar per demostrar la validesa d’un raonament.

Podem utilitzar les taules per demostrar la validesa d’un raonament provant la conseqüència lògica i/o la implicació tautològica:

    Una fórmula, anomenada conclusió, és una conseqüència lògica de l’altra o altres, anomenades premisses, si tota interpretació -o assignació de valors de veritat- que fa verdaderes a les premisses fa també verdadera a la conclusió:

Si tenim el raonament format per

• una 1ª premissa que és: (p®q)

• una 2ª premissa que és: ¬q

• s’obté la conclusió que és ¬p

Aquesta conclusió és conseqüència lògica de les premisses si, com hem dit, en el cas en que qualsevol possible assignació de valors de veritat que fa verdaders simultàniament a les premisses també fa verdadera la conclusió. O dit d’una altre manera, és una implicació verdadera en tot cas, per la qual cosa es compleix que «sempre que les premisses són verdaderes la conclusió també ho és, i en cap cas succeeix que les premisses siguin verdaderes i la conclusió falsa».

Ja que un raonament es pot representar com una implicació lògica, és a dir, per una fórmula que té l’estructura d’un condicional en el qual l’antecedent està format per la conjunció de les diferents premisses i el conseqüent està format per la conclusió, podem representar el mateix exemple anterior, escrivint-lo com una implicació , de manera que queda:  

[(p ® q) Ù ¬q] ® ¬p   

La taula de veritat mostra que aquest condicional és una tautologia.

(p ® q)			Ù	¬q	®	¬p
V	V	V	F	F	V	F
V	F	F	F	V	V	F
F	V	V	F	F	V	V
F	V	F	V	V	V	V

• Primer posem els valors de "p" i de "q".

• Apliquem la taula del condicional a la primera premissa que és (p ® q)

• Apliquem la taula de la conjunció entre (p ® q) i ¬q

• Finalment apliquem la taula del condicional entre [(p ® q) Ù ¬q] i ¬p i observem que quan la primera premissa que és (p®q) és V, i quan simultàniament és també verdadera la segona premissa (¬q), veiem que la conclusió ¬p també és V

Per tant, podríem escriure la taula de valors de manera simplificada:

(p ® q)			Ù	¬q	®	¬p
V	V	V		F		F
V	F	F		V		F
F	V	V		F		V
F	V	F		V		V

No ens fa falta omplir les columnes dels connectors que enllacen les premisses ni del que enllaça el conjunt de les premisses i la conclusió, ja que, per definició, si tota interpretació -o assignació de valors de veritat- que fa verdaderes a les premisses fa també verdadera a la conclusió tenim que aquesta és conseqüència lògica de les premisses. Si ens fixem en l'exemple veurem que quan les premisses (en aquest cas dues) són verdaderes (fet que es dona solament en la darrera filera), també és verdadera la conclusió.

En canvi, veiem l’exemple següent:

• La 1ª premissa és: (p®q)

• La 2ª premissa és: ¬p

• La conclusió és ¬q

Fixem-nos que aparentment s’assembla molt a l’exemple anterior, però és lògicament molt diferent

(p ® q)			Ù	¬p	®	¬q
V	V	V		F		F
V	F	F		F		V
F	V	V		V		F
F	V	F		V		V

En aquest cas ¬q NO és una conseqüència lògica de les premisses, ja que no sempre que les premisses són verdaderes també ho és la conclusió. En la filera destacada en color verd es veu que és possible que les dues premisses siguin alhora verdaderes mentre que la conclusió és falsa.

Veiem un altre exemple de fórmula en la qual de les premisses (p®q) Ù p s’infereix com a conseqüència lògica la conclusió "q"

(p ® q)			Ù	p	®	q
V	V	V		V		V
V	F	F		V		F
F	V	V		F		V
F	V	F		F		F

Per a l’assignació de valors de la primera línia, es compleix que «la interpretació que fa verdader al conjunt de premisses fa també verdadera a la conclusió». Per tant, q és conseqüència lògica del conjunt donat de fórmules, com expressa el seqüent semàntic:  (p ® q), p ╞ q

 

En resum, en un raonament vàlid hi ha conseqüència lògica entre premisses i conclusió.

Tota tautologia, és una fórmula universalment vàlida (veure llista de tautologies).

 

    2.2) Prova d’invalidesa, procediment indirecte o reducció a l’absurd

Un altre procediment per provar si un raonament és o no vàlid que també es basa en l’ús de taules de veritat, consisteix en intentar provar si pot ser fals. En el cas que suposem que el raonament és fals, assignem valors als enunciats i llavors poden passar dues coses:

• a) arribem a una contradicció. Si arribem a una contradicció, ja que aquesta procedeix de la suposició que el raonament era fals, demostra que no pot ser fals i, per tant, és verdader.

• b) no arribem a cap contradicció. Com que hem partit de la possibilitat que el raonament fos fals, si no ens contradiem és que realment pot ser fals i, per tant, la conclusió no és conseqüència lògica de les premisses.

Exemples:

Abans hem provat que el raonament [(p ® q) Ù ¬q] ® ¬p era vàlid i que la conclusió és conseqüència lògica de les premisses.

Provem-ho ara pel mètode indirecte o de reducció a l’absurd. Per fer-ho suposem que tot el raonament és fals. Com que té forma de fórmula condicional suposem que el resultat final és F.

1r pas	[(p	®	q)	Ù	¬q]	®	¬p
						F

Com que un condicional solament pot ser fals si el seu antecedent és verdader i el seu conseqüent és fals, per ser coherents amb la nostra suposició inicial segons la qual tot el raonament és fals, estem obligats a suposar que el valor del conseqüent (¬p) és F i el valor de tot l’antecedent és V

2n pas	[(p	®	q)	Ù	¬q]	®	¬p
				V		F	F

Però atès que l’antecedent està format per una conjunció (Ù) i una conjunció solament port ser verdadera si els seus membres són simultàniament verdaders, per ser coherents amb la nostra suposició inicial segons la qual tot el raonament és fals, estem obligats a suposar que el valor de (p ® q) i el valors de ¬q són verdaders.

3r pas	[(p	®	q)	Ù	¬q]	®	¬p
		V		V	V	F	F

Ara tenim que, per ser coherents amb la nostra suposició inicial segons la qual tot el raonament era fals, hem hagut d’assignar uns valors. En el cas del condicional (p ® q) ens hem vist obligats a suposar que havia de ser V. Però al mateix temps hem estat obligats a assignar el valor F a ¬p (per tant p = V) i V a ¬q (per tant q = F). Si ara posem aquesta valors als membres del condicional "p" i "q" tenim:

4t pas	[(p	®	q)	Ù	¬q]	®	¬p
	V	V	F	V	V	F	F

I això no és possible, ja que un condicional amb antecedent verdader i conseqüent fals no pot ser verdader. Per tant, partint de la suposició inicial segons la qual tot el raonament era fals, ens hem vist obligats a suposar uns valors que ens han conduït a una contradicció. Com que aquesta contradicció procedeix de la suposició segons la qual el raonament és fals... contradiu aquest supòsit i, per tant, el raonament no pot ser fals. Per tant, és necessàriament verdader.

 

En canvi, l’exemple següent

Sempre que plou es mullen els carrers de la ciutat

S’han mullat els carrers de la ciutat

______________________________________

Plou

és un cas de l’anomenada fal·làcia de l’afirmació del conseqüent.

La seva forma lògica és [(p®q)Ùq]®p

Si es fa la seva taula de valors es comprova que no és una fórmula vàlida, ja que és possible que les dues premisses (p®q), q siguin verdaderes i no ho sigui la conclusió (p)

[(p®q)			Ù	q]	®	p
F	V	V	V	V	F	F

Es pot veure que no hi ha contradicció en suposar que és fals, de manera que és possible que, quan l’enunciat p (ploure) és fals i l’enunciat q (mullar-se els carrers) és verdader el raonament és fals. Evidentment això és així perquè és possible que no plogui (per tant  p és fals), però que algú hagi regat, de manera que q sigui verdader. Partint, doncs, del supòsit que el raonament era fals, arribem a veure que res contradiu aquesta possibilitat, per tant, l’argument pot ser fals.

 

2.3) Arbres lògics

Aquest mètode de reducció a l’absurd o prova indirecta té relació amb l’anomena’t mètode de càlcul dels arbres lògics iniciat per E.W. Beth (1955), que és un mètode semàntic que permet verificar si una fórmula és una tautologia o si una fórmula és una conseqüència lògica de les seves premisses, recorrent al concepte de consistència.

Permet demostrar si una fórmula és una contradicció (veure exemple 1), o que el conjunt constituït per les premisses i la negació de la conclusió, que constitueix el seu contraexemple, és inconsistent (veure exemple 2 i exemple 3). Vegeu la descripció del mètode en càlcul dels arbres lògics.

 

3) Mètodes sintàctics

La noció lògica fonamental en els mètodes de taules és la de no contradicció o consistència entre premisses i conclusió. En els mètodes sintàctics la noció lògica fonamental és la de equivalència entre fórmules que preserven, o transmeten, la veritat.

Els mètodes sintàctics consisteixen en derivar o deduir una conclusió, a partir d’uns principis o unes premisses donades. Un raonament és, així, vàlid si la conclusió s’ha derivat o deduït correctament dels seus principis o premisses mitjançant regles; la validesa s’entén ara com deduïbilitat.

En els mètodes semàntics, raonament vàlid és aquell que no admet la possibilitat que les seves premisses siguin verdaderes i la conclusió falsa; en els mètodes sintàctics és aquell la conclusió del qual s’ha demostrat, derivat o deduït correctament de principis o premisses (hipòtesi). Cosa que s’expressa mitjançant el següent seqüent sintàctic:

A1, A2, ... An ├ B

que es llegeix, «B és demostrable a partir de premisses o principis » o B «és deduïble», on el signe "├ " representa la «deduïbilitat» de la fórmula B a partir d’altres.

Si en els apartats anteriors hem vist mètodes semàntics ara veurem dos mètodes sintàctics per establir la validesa dels raonaments.

3.1) Mètodes axiomàtics

És el mètode més clàssic de deducció lògica. Un sistema formal axiomàtic es compon d’una llista de axiomes i d’una o més regles d’inferència.

Qualsevol fórmula (B) d’aquesta seqüència és un teorema sintàctic ├ B si es demostra a partir dels axiomes. Una demostració o derivació axiomàtica de B és:

• 1) una seqüència finita de fórmules

• 2) l’ultima fórmula de la qual és B;

• 3) on cada fórmula és o un axioma o una conseqüència d’un axioma derivada mitjançant regles d’inferència.

Els sistemes axiomàtics, la característica general dels quals és, d’una banda, la simplicitat -tenen, comunament, poques regles d’inferència- i, per una altre, la laboriositat de les demostracions (veure exemple) segueixen, com a alternativa, a partir de 1934, els sistemes de deducció natural, ideats per G. Gentzen.

 

    3.2) Deducció natural

Un dels sistemes formals de deducció, emprats en lògica, ideat independentment per Gerhard Gentzen (1909-1945), lògic i matemàtic alemany deixeble de Hilbert, i Stanislaw Jaskowsky, en 1934. Consisteix en un procediment de derivació per provar la validesa d’una conclusió, partint de premisses inicials i deduint noves premisses intermèdies mitjançant regles d’inferència, l'ús de les quals es justifica. No recorre a axiomes i el procediment demostratiu en conjunt té certa semblança amb la manera «natural» de deduir.

Utilitza regles d’inferència per a cadascuna de les connectives i, com a pressupòsit fonamental, admet suposar com a premissa qualsevol enunciat, que pot introduir-se condicionadament en qualsevol moment de la demostració (suposició que eventualment ha de cancel·lar-se recorrent a la demostració condicional veure exemple) o a la prova per reducció a l’absurd).

Com a exemple de sistema de deducció natural utilitzem les vuit regles bàsiques de Gentzen i algunes de les derivades.

Regles bàsiques del càlcul de la lògica d’enunciats (Regles d’inferència)

Aquestes regles són fruit de l’aplicació de les taules de veritat. Així, evidentment si sabem que un enunciat P pot ser V o F, i sabem que la seva negació inverteix els valors, tenim que si P és V (verdader), llavors ¬P és F (fals), però la negació de la negació, és a dir ¬¬P tornarà a ser verdader. Això, per exemple justifica la regla de la DN (o doble negació). Igualment es procedeix en les regles següents.

Regles de la negació

DN Doble negació. P equival a ¬¬P, i a la inversa. Una doble negació equival a una afirmació. Per tant: Si tenim P podem escriure com a fórmula equivalent ¬¬P.  O si tenim ¬¬P podem escriure com a fórmula equivalent P.

P	¬¬P
¬¬P	P

Regles de la conjunció

EC Eliminació de la conjunció. Qualsevol conjunció es pot “trencar”. Així, si tenim PÙQ ens podem quedar solament amb P o solament amb Q. Això és així perquè una conjunció solament és verdadera si els dos membres ho són. Per tant si afirmem que és veritat PÙQ podem afirmar que és veritat P i podem afirmar que és veritat Q

PÙQ	PÙQ
P	Q

IC Introducció de la conjunció. Si en el transcurs d’un raonament tenim P i posteriorment tenim Q els podem enllaçar amb una conjunció. Això és així perquè, evidentment si tenim que és veritat P i tenim que és veritat Q podem afirmar que els dos (PÙQ) són verdaders. (En aquest cas, doncs, cal utilitzar la regle entre dos enunciats inclosos en el raonament que s’està examinant)

P . . . Q

PÙQ

Regles de la disjunció

ED Eliminació de la disjunció. Si tenim una disjunció P Ú Q, com que aquesta disjunció pot ser verdadera si és veritat P o si és veritat Q o si són veritat els dos enunciats, solament si sabem que un d’ells no és verdader podem afirmar que la disjunció és verdadera si és verdader l’altre enunciat. (En aquest cas, també cal utilitzar la regle entre dos enunciats inclosos en el raonament que s’està examinant)

P Ú Q ¬P	P Ú Q ¬Q
Q	P

Exemple: evidentment si tenim PÚ¬Q i també tenim ¬P, llavors aplicant la regla anterior ED tenim ¬Q

Perquè? obviament perquè si realment tenim PÚ¬Q (és a dir, acceptem que PÚ¬Q é veritat) i tenim ¬P (és a dir, acceptem que ¬P és veritat), com que una disjunció verdadera ha de tenir algun dels seus membre verdaders, lògicament ja que hem dit que ¬P és verdader i, per tant P és fals, ¬Q ha de ser verdader.

P Ú ¬Q ¬P

¬Q

ID Introducció de la disjunció. Com que sabem que una disjunció és verdadera ja des del moment en què un dels seus membres ho és, si tenim un enunciat P podem unir.lo amb una disjunció amb qualsevol enunciat, per exemple, Q

P

P Ú Q

 

Regles del condicional 

MP Modus ponens. Evidentment si tenim un condicional i el seu antecedent, tenim el seu conseqüent.  Així, si sabem que és veritat que «si plou, llavors es mullen els carrers», i sabem que «plou», podem saber que «es mullen els carrers». (En aquest cas, també cal utilitzar la regle entre dos enunciats inclosos en el raonament que s’està examinant)

P ® Q P

Q

Evidentment, si tinguéssim (¬P ® Q) i tinguéssim ¬P podríem aplicar la regla (tenim un condicional i el seu antecedent, per tant tenim el seu conseqüent)

¬P ® Q ¬P

Q

 

MT Modus Tollens. Si tenim un condicional i la negació del seu conseqüent podem afirmar la negació de l’antecedent. Així, si sabem que és cert que «si plou, llavors es mullen els carrers», i sabem que «no es mullen els carrers», podem saber que «no plou» (També en aquest cas cal utilitzar la regle entre dos enunciats inclosos en el raonament que s’està examinant)

P ® Q ¬Q

¬P

Evidentment, si tenim (¬P ® ¬Q) i tenim Q, aplicat la regle tenim P

¬P ® ¬Q Q

P

Regles del bicondiconal

EB Eliminació del bicondicional. Si tenim (P ↔ Q), podem escriure la seva fórmula equivalent:

P ↔ Q

(P ® Q) Ù (Q ® P)

IC Introducció del bicondicional. És la introducció del bicondicional a partir de la conjunció dels dos condicionals amb antecedents i conseqüents capiculats. En definitiva és la inversa de la fórmula anterior.

(P ® Q) Ù (Q ® P)

P ↔ Q

Està clar que si tenim (P ® Q) i en un altre lloc tenim (Q ® P) també podem aplicar la regle.

Ja que podríem passar a (P ® Q) Ù (Q ® P) aplicat la regla de la introducció de la conjunció (IC) i d'aquí podriem passar, aplicat la regla anterior a (P ↔ Q)

(P ® Q) . . . (Q ® P)

P ↔ Q

 

DM Regles de De Morgan. (En memòria del lògic i matemàtic Augustus De Morgan). Aquestes regles permeten passar d’una conjunció a una disjunció i a la inversa. Una conjunció afirmada dels seus membres afirmats equival a la negació d’una disjunció amb els seus membres negats. És a dir, que és equivalent (P Ù Q) amb ¬(¬P Ú ¬Q). Igualment, una disjunció afirmada amb els seus membres afirmats equival a la negació d’una conjunció amb els seus membres negats. Així tenim: 

(P Ù Q)

¬(¬P Ú ¬Q)

També:

(P Ú Q)

¬(¬P Ù ¬Q)

Aplicat aquesta regle tindríem també, per exemple:

¬(P Ú ¬Q)	¬(¬P Ú Q)
(¬P Ù Q)	(P Ù ¬Q)

etc.

(Cal tenir en compte que de la mateixa manera que ¬P és la negació de P, P és la negació de ¬P)

---

Exemple d’aplicació de les regles d’inferència

Exemple 1: Si es vol provar la validesa del raonament següent  

[(r®¬s) Ù (p ® r) Ù p] ® (¬s Ú t)

aplicant les regles bàsiques del càlcul de lògica d’enunciats, procedim de la manera següent:

• Posem per ordre i de manera numerada les diferents premisses (en aquest cas són 3 premisses) en fileres.

• Després posem la conclusió que hipotèticament volem demostrar, i la marquem amb un signe d’interrogació. Cal tenir en compte que aquesta filera interrogada, ja que és la que es vol demostrar no es pot utilitzar.

• Seguidament en successives fileres, també numerades, anem utilitzant les regles d’inferència que hem explicat anteriorment, i justifiquem el seu ús emprant les sigles o abreviatures de les regles. Així, si utilitzem el Modus ponens, ho senyalem amb MP, si emprem la regla de la introducció de la disjunció ho indiquem amb ID, etc.

En l’exemple que acabem de proposar, tenim (escrit en forma de condicional):

[(r®¬s) Ù (p ® r) Ù p] ® (¬s Ú t), que utilitzant el mètode explicat escrivim de la manera següent:

1       r®¬s           premissa

2       p ® r           premissa

3       p                 premissa

4       (¬s Ú t ) ?   Es pot demostrar com a conclusió?

5      r                  MP 2,3

6      ¬s               MP 4, 1

7      ¬s Ú t          ID 5

 

Com es veu la conclusió (¬s Ú t) sí que es deriva de les premisses.

Exemple 2: Si tenim les premisses (p Ù s) ® q; (q ® t); ¬t Ù s i es vol provar ¬p

Tenim:

1       (p Ù s) ® q  premissa

2       (q ® t)        premissa

3       ¬t Ù s          premissa

4       ¬p ?            Es pot demostrar ¬p com a conclusió?

5       ¬t               EC 3

6       ¬q              MT 5, 2

7       ¬(p Ù s)      MT 6,1

8       ¬p Ú ¬s      DM 7

9         s               EC 3

10     ¬p              ED 8,9

 

Es prova, doncs,  que ¬p s’infereix de les premisses

 

---

4) Conclusió

La lògica d’enunciats és un sistema formal que posseeix uns procediments de decisió efectius per provar que una fórmula qualsevol és també una conseqüència lògica. Per tant constitueix un sistema formal decidible, ja que aquests procediments són eficaços per decidir, semànticament, si una fórmula és una tautologia (taules de veritat) o si és, sintàcticament, un teorema del càlcul (sistema axiomàtic i deducció natural i arbres lògics) .

Com a sistema formal, la lògica d’enunciats posseeix també les propietats de consistència i completud. Posseeix la propietat de consistència, atès que per a qualsevol fórmula vàlida, A, de lògica d’enunciats, és veritat que

si ├ A, llavors ╞ A

(Si A és deduïble, A és una conseqüència lògica; si A és un teorema, A és una tautologia)

Cosa que afirma la seva consistència interna i exclou que sigui possible demostrar A i ¬A, contradictòries dintre seu. O el que és el mateix, afirma que tots els seus teoremes són vàlids.

És, a més, un sistema formal complet, atès que qualsevol forma vàlida pot ser demostrada dins de la lògica d’enunciats. I, així, per a qualsevol fórmula, A, és veritat que

si ╞ A, llavors ├ A

(Si A és una conseqüència lògica, A és deduïble; si A és una tautologia, és un teorema)

Aquesta és la propietat recíproca, o conversa, de l’anterior, de manera que, a l’afirmar-se totes dues, les dues propietats anteriors donen lloc a la següent equivalència:

├ A, si i solament si ╞ A

El significat d’aquesta equivalència és doble:

• 1) Totes les seqüències que són deduccions formals són també formalment verdaderes i, a la inversa, totes les seqüències formalment verdaderes són susceptibles d’una demostració formal; i

• 2) tota deducció és una veritat lògica i totes les veritats lògiques són demostrables; o tot teorema és una tautologia, i tota tautologia és un teorema del sistema.

La lògica d’enunciats és, per tant, un sistema formal consistent, complet i decidible.

---

(II) El desenvolupament d’aquesta introducció a la lògica segueix l’ordre de l’esquema següent. Els apartats marcats amb un asterisc (*) són els que corresponen a l'itinerari  a seguir segons el temari de la introducció general a la lògica

Lògica: índex general

	*	Lògica
	*	1. Veritat i validesa		5. Lògica de predicats
	*	2. Llenguatge formal			5.1.1. Llenguatge formal
	*	3. Lògica d’enunciats			5.1.2. Sistemes de deducció
	*		3.1. Connectives		a) arbres lògics
	*		3.2. Taules de veritat		b) deducció natural
		4	Raonaments vàlids	6. Lògica de classes
			4.1. mètodes semàntics	7. Lògica de relacions
			a) Taules	8. Sil·logística		*
			b) arbres lògics	Diagrames de Venn		*
			4.2. mètodes sintàctics	9. Història de la lògica		*
			a) mètodes axiomàtics
			b) deducció natural

---

---

Aquesta obra està sota una llicència de Creative Commons. FiloXarxa 2004 Conceptes i textos filosòfics Jordi Cortés Morató i Antoni Martínez Riu. Construcció i disseny de la web i traducció de textos al català: Jordi Cortés Morató