-Lògica de predicats-
 |
 |
Lògica de predicats, lògica de classes i lògica de relacions
5. Lògica de predicats
| 5.1 | Lògica de predicats | |
| 5.1.1. El llenguatge de la lògica de predicats | ||
| 5.1.2 Sistemes formals de deducció | ||
| 6 | Lògica de classes | |
| 7 | Lògica de relacions |
5.1. Lògica de predicats
Part de la lògica que té com objecte d’estudi la conseqüència lògica entre enunciats, quan per a decidir-la no n’hi ha prou considerar l’estructura global dels enunciats, sinó que cal conèixer la seva estructura interna. És, en conseqüència, l’estudi de les inferències vàlides que es basen en l’estructura interna dels enunciats.
David Hilbert i Wilhelm Ackermann van ser els primers a descriure d’una manera sistemàtica (1928) aquesta part de la lògica, pròpiament anomenada lògica de predicats de primer ordre.
La lògica d’enunciats no pot analitzar satisfactòriament raonaments com els dos següents:
| 1) | ||
| Tots els qui canten són persones sensibles | p | |
| En Marc és una persona sensible | q | |
| ________________________________ | __ | |
| Per tant en Marc canta | r | |
| 2) | ||
| Totes les persones sensibles canten | p | |
| En Marc canta | q | |
| ________________________________ | __ | |
| Per tant, en Marc és una persona sensible | r |
En lògica d’enunciats aquests dos raonaments (vàlid el primer, invàlid el segon) tindrien el mateix esquema d’argument: (pÙq)®r
En general: si A1 i A2, llavors B
cosa que no permetria decidir quin dels dos és el vàlid.
La lògica de predicats, a l’analitzar l’estructura interna de la frase i a l’introduir operadors interns, permet diferenciar entre objectes o individus, propietats i relacions.
En «Tot home raona», podem diferenciar l’objecte o individu (el subjecte gramatical) del qual es parla, i que aquí es precisa que es tracta de «tots els homes», i la propietat que atribuïm a aquest objecte o individu, que aquí és el predicat «_______ raona». Hi ha predicats que es refereixen com més d’un objecte (com, per exemple, en «_______es el pare de_______» o «_______ està entre_______ i _______», que són relacions).
Una cosa és ser «objecte» o «referent» i una altra diferent ser «predicat»; els termes que designen objectes són designadors, i els que designen predicats, relators. Així mateix, a l’objecte o referent que pot ocupar l’espai buit «_______ ... » s’anomena argument; a un argument se li atribueixen predicats, que són propietats (predicats absoluts) o relacions (predicats relatius). Inversament, a les propietats corresponen arguments que són noms, pronoms o objectes i, a les relacions, parelles de noms, o més, segons siguin els predicats diàdics, triàdics, n-àdics (o binaris, ternaris, n-aris, etc.), això és, segons els predicats tinguin dos o més llocs buits.
5.1.1. El llenguatge de la lògica de predicats
La lògica de predicats és un llenguatge formal el enunciats del qual són fórmules amb les quals es simbolitza i analitza l’estructura interna de les frases. Aquest llenguatge artificial està format per símbols i fórmules:
-
Símbols
1. Termes
1.1. constants d'individu: a, b, c, ...
1.2 variables individuals: x, y, z, ...
2. Lletres d'enunciats: P, Q, R, S, ...
3. Connectives; ¬, Ù, Ú, →, «
4. Quantificadors:
4.1. quantificador universal: "
("x es llegeix, «per a tot x», i equival a «tots...
4.2. quantificador existencial: $
( $x es llegeix, «hi ha almenys un x», i equival a «algun»
-
Fórmules
1. Una lletra de predicat seguida d'un terme és una fórmula
2. Si A i B són fórmules, llavors també o són:
¬A, AÙB, AÚB, A®B, A↔B
3. Si A és una fórmula i x és una variable, llavors
"xA i $xA, són fórmules
4. Cap altra expressió és una fórmula en lògica de predicats que no ho sigui per les regles 1, 2 i 3
Exemples :
1. Enunciats quantificats (veure exemple).
2. Enunciats quantificats amb més d’una variable (veure exemple).
També la lògica de predicats gaudeix de les propietats de consistència i completud (en sentit feble: quan tota fórmula vàlida és també un teorema), de manera que tot enunciat o fórmula deduïble és una veritat lògica, i tota veritat lògica és deduïble o derivable; però la lògica de predicats, globalment considerada, no és decidible. A diferència de la lògica d’enunciats, no disposa d’un procediment mecànic, d’un algorisme universal, com són les taules de veritat, per decidir si una fórmula qualsevol és universalment vàlida (veure exemple).
L’única manera de provar, per a parts determinades d’aquesta lògica, que una fórmula és universalment vàlida, o que un argument és vàlid, és per mitjà d’una deducció. Llavors es compleix:
A1, A2, ... An ├ B, i si ├ B, llavors ╞ B
Y això prova la consistència de la lògica de predicats: tot el que és deduïble és lògicament verdader, o que només les fórmules universalment vàlides són teoremes. Y d’allà, la importància dels mètodes deductius, o càlculs, en lògica de predicats
5.1.2. Sistemes formals de deducció
A banda dels sistemes axiomàtics, els sistemes deductius més utilitzats són els arbres lògics (el mateix, substancialment, que en el càlcul d’enunciats) i la deducció natural.
Permeten decidir la validesa de algunes argumentacions de lògica de predicats, atès que, si ben no poden demostrar la consistència de totes les fórmules amb quantificadors, poden demostrar la inconsistència.
Les seves regles són les mateixes del càlcul d’enunciats més quatre pròpies dels quantificadors (veure regles).
Veure exemples: exemple 1 i exemple 2.
Utilitza les mateixes regles del càlcul de lògica d’enunciats (veure) més quatre regles bàsiques pròpies del càlcul de predicats, i algunes derivades (veure regles).
Veure exemples : exemple 1, exemple 2 i exemple 3.
6. lògica de classes
La lògica que tracta de les classes i dels membres de les classes. S’identifica amb la lògica de predicats monàdics, i en ella es distingeixen dues parts: l’àlgebra de classes i la lògica de classes pròpiament dita.
L’àlgebra de classes pot considerar-se com una interpretació extensional de la lògica d’enunciats, on les lletres no signifiquen enunciats, sinó classes, això és, el conjunt d’objectes o individus que tenen la mateixa propietat: una classe és l’extensió d’un predicat. L’expressió «x és pianista» s’interpreta com «x és membre de la classe de pianistes» = [Px]. Tot objecte que tingui la propietat de «ser pianista» pertany a aquesta classe. La classe de tots aquests objectes amb aquesta propietat s’escriu amb el operador d’abstracció:
i es llegeix «la classe de tots els x tals que x és P»
Es distingeix entre classes finites (per exemple, els dies de la setmana) i infinites (per exemple, la sèrie de nombres naturals); classes unitàries, amb un únic element (per exemple, el número p); classe buida, (per exemple, una setmana de només tres dies) i classe universal o univers de discurs (veure gràfic), representada per la classe on cobra sentit parlar d’altres classes i les seves propietats; parlar de «atletes» i de les seves «marques» té sentit en un univers d’homes i dones.
De la mateixa manera es distingeixen operacions entre classes i relacions entre classes. El resultat d’aquestes últimes són enunciats sobre classes; el resultat de les primeres és una nova classe.
Operacions entre classes:
Són les classes produïdes pels operadors de classe «productor», «sumador» i «complementador»:
La intersecció (veure gràfic). multiplicació lògica, o classe producte,
A ∩ B
està formada pels individus que pertanyen, a la vegada, a A i a B. Així, «filòsofs catalans» és la intersecció entre la classe de «filòsofs» i la de «catalans».
La unió (veure gràfic) o suma lògica, o classe suma,
A È B
és la classe formada pels individus que pertanyen a una de les dues classes o a totes dues. La classe del «personal sanitari» està constituïda per metges, personal A.T.S. (infermeres i infermers) i per aquells que són les dues coses a la vegada.
La classe complement o complementària d'A, Ā (veure gràfic) és aquella a la qual pertanyen els elements que no pertanyen a A: la classe complement dels dies festius d’un mes són tots els altres dies laborables .
Classes disjuntes són aquelles la intersecció de les quals és buida. La classe dels «homes» és disjunta de la dels «animals que volen», perquè «Cap home vola». Per això, els enunciats categòrics de manera E poden escriure’s com:
A ∩ B = 0
De la mateixa manera que els enunciats categòrics de manera A poden escriure’s com una classe disjunta d’una classe A i la classe complement de l’altra:
En canvi, els enunciats categòrics particulars afirmen que dues classes no són disjuntes, una respecte de l’altra. Així, «alguns mamífers viuen en el mar», enunciat de tipus I, pot escriure’s com:
A ∩ B ≠ 0
que afirma que la intersecció de A i B no és buida. Pel mateix, un enunciat de tipus O, com «algunes expressions no són afortunades», s’escriu com una intersecció no buida entre una classe, A, i la classe complement de B:
Relacions entre classes
Enunciats sobre classes, construïts amb les constants d’enunciats de classe
«Ì, =»
La inclusió de classes, que s’escriu
A Ì B
es llegeix com «A està continguda en B» i es defineix afirmant que si alguna cosa pertany a A, pertany també a B, raó per la qual A és una subclasse de B. L’enunciat «els francesos són europeus» inclou la classe «francesos» en la classe dels «europeus», sent la primera una subclasse de la segona.
Tota classe té la propietat reflexiva (s’inclou a si mateixa) i la transitiva (si A està inclosa en B i aquesta en C, A està inclosa en C).
La igualtat entre classes, que s’escriu
A = B
i es llegeix «la classe A és idèntica a B», afirma d’elles que una i una altra tenen els mateixos elements. Així, per exemple, la classe dels nombres naturals parells és igual a la classe de números divisibles per dos.
L’ús conjunt i combinat dels operadors de classe i les constants d’enunciats de classes (més les constants de classe, com conjunt buit i classe universal, a més dels parèntesis) permet formar enunciats de lògica de classes. Aquells enunciats de classes que són universalment verdaders, o que són tautològics constitueixen les lleis del càlcul de lògica de classes.
L’àlgebra de Boole és un càlcul basat en només dues operacions de lògica de classes: la intersecció i la unió de classes, i el recurs, a més, a la classe complement.
Veure diagrames de Venn
7. lògica de relacions
Desenvolupament de la lògica de predicats que permet l’estudi de la deducció en raonaments que utilitzen enunciats amb predicats poliàdics, o predicats amb més d’un lloc, amb els quals s’expressen relacions entre dues o més individus (binàries, ternàries, n-àries). Aquesta lògica permet tractar arguments com:
|
A qui li agrada París li agrada també Roma. A l’Anna li agrada París |
|
|
Només ciutats belles carregades d’història li agraden a l’Anna |
|
|
________________________________________________ |
|
|
Per tant Roma és una bella ciutat carregada d’història |
On «x agrada a i» és una relació.
O el conegut exemple d’Augustus de Morgan:
-
Un cavall és un animal
________________________________________________
Per tant, el cap d’un cavall és el cap d’un animal
-
(on «x és el cap de i» és una relació).
Veure també: història de la lògica, lògica simbòlica / lògica matemàtica, sil·logística
El desenvolupament d’aquesta introducció a la lògica segueix l’ordre de l’esquema següent. Els apartats marcats amb un asterisc (*) són els que corresponen a l'itinerari a seguir segons el temari de la introducció general a la lògica
Lògica: índex general
Aquesta obra està sota una llicència
de Creative Commons.