![]() |
|
||||||||||||||||
![]() |
||||||||||||||||
Pràctica |
Exercicis
|
|||||||||||||||
Les distribucions de probabilitat discretes
![]() |
Glossari |
|||||||||||||||
|
La probabilitat ![]()
| ||||||||||||||
|
|||||||||||||||
![]() |
Experiències aleatòries | ||||||||||||||
|
|||||||||||||||
Algunes ciències estudien
experiències de les quals podem predir el resultat amb tota certesa.
Per exemple, es pot calcular a quina hora sortirà demà el
sol o bé la solució de l'equació x + 4(2
8x) = 5. S'anomenen experiències deterministes, en
les quals pot ser calculat i determinat prèviament el resultat de
l'experiència.
En canvi, en altres experiències hi ha factors que contribueixen a fer-ne imprevisible el resultat. A vegades es diu que l'atzar és un d'aquests factors. Vegem què ens diu el diccionari de la llengua catalana de l'IEC:
Dit així, podríem pensar en l'atzar com a sinònim de descontrol, però no és pas així. De fet, el diccionari de l'Enciclopèdia Catalana, en l'accepció MAT del mot atzar ens diu:
Quan un jugador molt traçut tira un dard cap a una diana, el punt on anirà a clavar-se el dard és, de fet, el resultat d'un problema de física. Ara bé, és tan difícil arribar a establir les condicions inicials d'aquest problema i també les condicions de l'entorn, que podem dir clarament que l'atzar influeix en el resultat de l'experiència. Semblantment passa quan tirem un dau enlaire o fem girar una ruleta. Donarem tot seguit algunes definicions i vocabulari que convé conèixer.
Així, doncs, si estem estudiant un fenomen aleatori, tot i que el repetim diverses vegades en les mateixes condicions, el resultat que observem pot ser un, o un altre, o un altre...
A part del resultat concret, l'observació del qual pot tenir força limitacions, en l'estudi dels fenòmens aleatoris ens interessa analitzar diverses situacions de les quals podem dir que tenen èxit o que no en tenen quan fem una prova de l'experiment.
Cada esdeveniment s'associa amb un observable, que és el
subconjunt de l'espai mostral format per aquells elements de
L'esdeveniment treure parell en el llançament d'un dau
s'associa amb l'observable {2, 4, 6} de l'espai universal L'esdeveniment treure bola blanca d'una bossa en què hi ha 60 boles blanques i 40 boles negres totes idèntiques excepte pel que fa al color té com a observable associat el conjunt format per totes les boles blanques. Tanmateix, una sola bola blanca no defineix un observable perquè no podem distingir si ha sortit aquella bola o una altra d'idèntica. L'enunciat "Escollir una noia l'alçada de la qual sigui exactament
1,68" no dóna lloc a un esdeveniment observable en l'experiència
de fer un sorteig entre les noies d'una classe i mesurar l'alçada
de l'escollida. Aquesta és una característica de les variables
contínues.
Un dels exemples més importants d'experiments aleatoris el tenim en la recollida de dades d'un treball estadístic. L'atzar hi influeix per dues raons: pel fet que prendre mesures sempre comporta una càrrega d'incertesa o marge d'error i, sobretot, per la necessitat amb què ens trobem sovint de prendre una mostra per extreure'n conclusions per a una població més gran. La probabilitat, concepte que introduïm en aquestes pàgines, facilita l'estudi dels experiments aleatoris i, doncs, aporta el model escaient per a la tasca fonamental de l'estadística: la inferència.
|
|||||||||||||||
|
|||||||||||||||
![]() |
La llei empírica de l'atzar | ||||||||||||||
|
|||||||||||||||
Ja hem dit que atzar no és sinònim
de descontrol, sinó que hi ha criteris per estudiar-lo: hi ha una
llei, constatable empíricament, que regula els fenòmens on
intervé l'atzar. És aquesta llei, que enunciarem a continuació,
la que ens porta de forma intuïtiva a la idea de probabilitat.
La llei empírica de l'atzar rep també el nom de llei dels grans nombres, ja que perquè l'acostament de les freqüències a un valor concret, de què parla la llei, sigui significatiu, cal repetir l'experiència un nombre molt gran de vegades. Només així podem tenir una constatació empírica de quin és el nombre al qual s'acosten les freqüències d'un esdeveniment, allò que en diem la seva probabilitat. Els treballs de simulació amb ordinador permeten experimentar amb molta rapidesa i arribar a nombres ben grans de repeticions d'un fenomen aleatori. En el context de les pràctiques d'aquest mòdul, tindreu referències a aquesta possibilitat.
| |||||||||||||||
|
|||||||||||||||
![]() |
La probabilitat | ||||||||||||||
|
|||||||||||||||
La probabilitat respon a la idea
de disposar d'una mesura del grau de certesa que determinats fets es produeixin
o no en una realització de l'experiment. La llei empírica
de l'atzar ens permet arribar a aquesta definició intuïtiva:
Representarem com a p(A) el nombre que representa la probabilitat d'un esdeveniment associat amb el subconjunt A. Globalment, la probabilitat és el procés que permet assignar a cada esdeveniment el nombre que mesura la seva probabilitat. Aquí hem adoptat el punt de vista intuïtiu; en canvi, en molts textos d'estadística, s'adopta el punt de vista axiomàtic i es defineix la probabilitat mitjançant les propietats bàsiques que compleix. Seguidament, comentem algunes d'aquestes propietats:
A partir de dos esdeveniments A i B, mitjançant operacions lògiques es defineixen d'altres esdeveniments, com s'explica tot seguit:
Es compleixen les propietats següents:
|
|||||||||||||||
|
|||||||||||||||
![]() |
La regla de Laplace | ||||||||||||||
|
|||||||||||||||
La recerca d'un model adequat per a una experiència consisteix en l'establiment global d'una probabilitat. Molts dels exemples que s'estudien, i en particular el que es presenta en l'altre document auxiliar d'aquest mòdul, corresponen al més intuïtiu d'aquests models: el model uniforme de probabilitat.
A vegades es fa servir l'expressió a l'atzar per indicar que la realització d'un fenomen respon al model uniforme. Per exemple:
Si fem l'experiència de treure una bola d'una bossa
en la qual hi ha 100 boles, 20 de blanques, 50 de negres i 30 de verdes,
podem dir que l'extracció serà feta a l'atzar si les boles
són totes idèntiques en pes i mida i remenem bé les
boles abans d'extreure-les, de manera que totes les boles tinguin la mateixa
oportunitat de sortir.
Si és així, podem aplicar la regla de Laplace i serà: L'assignació de probabilitats per a una experiència simple quan no escau el model uniforme té dues línies de treball fonamentals: la reformulació de l'experiència de manera que sigui vàlid el model uniforme o bé l'assignació empírica de probabilitats. Tanmateix, l'aprofundiment d'aquesta consideració escapa a la finalitat d'aquest curs.
|
|||||||||||||||
|
|||||||||||||||
![]() |
El concepte d'independència | ||||||||||||||
|
|||||||||||||||
En moltes situacions pràctiques es fa
servir de forma habitual un concepte que, a l'hora de ser definit amb rigor,
rep el nom de probabilitat condicionada. Posem com a exemple els casos en
què es parla que "el fet de ser drogoaddicte és un factor
de risc per tenir la sida", que podríem reformular dient que
"la probabilitat de tenir la sida augmenta si sabem que una persona
és drogoaddicte".
Es tracta de situacions en què el fet de disposar d'informació complementària pot condicionar la mesura de les possibilitats que un esdeveniment es produeixi, és a dir, ens trobem amb una nova manera de veure la probabilitat. Aquesta informació complementària es pot presentar, en general, com un esdeveniment que sabem o suposem que s'ha produït, que anomenarem esdeveniment condicionant. Donarem la definició següent:
|
|||||||||||||||
A partir de la noció de probabilitat condicionada s'arriba a un dels conceptes crucials en la teoria de probabilitats (i en les seves aplicacions pràctiques!).
Dues observacions sobre la definició anterior (i perdoneu els jocs de paraules si els considereu excessius):
En la majoria de situacions que hem treballat en aquest capítol els esdeveniments condicionant i condicionat es desenvolupaven de manera simultània en el temps, però el concepte que acabem de comentar també s'aplica a experiències compostes de diverses parts que es duen a terme successivament i en què el resultat d'una part pot condicionar el desenvolupament de la següent. Pensem, doncs, en una experiència composta de dues parts i, en
aquesta experiència, siguin A un esdeveniment de la primera
part de l'experiència o, més exactament, que passi A
a la primera part i qualsevol cosa a la segona part, i B un esdeveniment
de la segona part de l'experiència o, més exactament, que
passi qualsevol cosa a la primera part i es faci amb èxit B
a la segona part. Si operem en la fórmula de la probabilitat condicionada
aplicada a aquests esdeveniments A i B obtenim p(A
Heu de tenir ben present que en cas d'experiments successius no es fa servir la fórmula del producte per calcular p(B|A), sinó que aquest valor s'obté de manera intuïtiva i la fórmula serveix per calcular la probabilitat que s'esdevinguin, successivament, A i B. En aquest mateix ordre de coses, convé que diguem que el fet que les parts de què es compon una experiència composta siguin independents no es dedueix pas a partir de cap càlcul, sinó que és un concepte intuïtiu, la validesa o no del qual és conseqüència de la forma de dur a terme l'experimentació.
Vegeu un exemple: imagineu una bossa amb 20 boles,
14 de les quals són vermelles i 6 són blanques i que extraiem
successivament dues boles d'aquesta bossa.
Si volem calcular la probabilitat de treure dues boles de diferent
color, hem de tenir en compte les dues possibilitats: BV i
VB. Tenim:
Semblantment, si volem calcular la probabilitat de treure una sola
bola blanca de les dues (boles de diferent color) tindrem:
Entre els exercicis plantejats al final del mòdul, en trobareu un que us farà pensar en un experiment compost amb les diverses parts de l'experiment independents i un altre que correspon a un cas en què la realització d'una part de l'experiment condiciona el càlcul de la probabilitat de les parts successives. |
|||||||||||||||
|
|||||||||||||||
![]() |
|||||||||||||||
Aclariments, ampliacions, exemples | |||||||||||||||
![]() |
Un
exemple relatiu a la probabilitat condicionada
En una parada de fira es juga amb una roda de la fortuna, però el joc es fa de manera ben especial: el director del joc fa voltar la roda darrere d'una cortina, i quan s'atura anuncia si el nombre que ha sortit correspon a un sector acolorit o no. Seguidament, els jugadors fan les seves apostes a parell o imparell, sense que es torni a fer girar la roda de la fortuna, sinó que, quan les apostes ja estiguin fetes, s'obrirà la cortina i es podrà veure on ha parat la ruleta. Analitzeu aquest joc i penseu a què apostaríeu (parell o imparell) si el crupier canta "Ha sortit acolorit" en les dues situacions següents:
P: sortir parell S: sortir senar o imparellHem de pensar que en totes dues ruletes podem aplicar la fórmula de Laplace, perquè els sectors són idèntics i se suposa que no hi ha trampa. Llavors tenim en tos dos casos: p(P) = p(S) = 0,5 i també p(A) = p(B) = 0,5 Des del moment que sabem que el crupier ha cantat "Ha sortit acolorit", les preguntes que ens hem de fer per apostar si ha sortit parell o imparell tendeixen a fer-nos pensar en les probabilitats condicionades en què A (acolorit) serà l'esdeveniment condicionant. Penseu que volem encertar el resultat d'un experiment del qual coneixem part de la informació ("Ha sortit A"). Haurem de calcular, doncs, p(P|A) i p(S|A), les probabilitats que surti parell o imparell però calculades com si s'hagués esdevingut A (sector acolorit). Apliquem la definició: Ruleta (a)
p(P En aquesta ruleta, doncs, el fet de saber que ha sortit un sector acolorit fa augmentar la probabilitat de senar: això és el que apostaríem. Ruleta (b)
p(P En aquest cas, la informació suplementària (saber si ha sortit acolorit o no) no aporta res de nou: parells o imparells tenen les mateixes probabilitats si es calculen a priori o bé si es calculen condicionades per l'esdeveniment A.
| ||||||||||||||