Principis bàsics de lògica digital

Al camp de l’electricitat i l’electrònica, hi ha dues maneres de representar informació, que anomenem analògica i digital, i que es distingeixen per la naturalesa dels valors que poden prendre les variables que ens donen una mesura d’aquesta informació.

A la nostra vida quotidiana, els éssers humans treballem amb deu xifres (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 i 9) que combinem per representar qualsevol número i per fer càlculs: és el que s’anomena sistema de numeració decimal.

Els equips digitals (ordinadors, autòmats programables, etc.) treballen amb un mètode per comptar i fer càlculs molt particular: tan sols treballen amb les xifres 0 i 1. És el que s’anomena sistema de numeració binari.

Com que els nombres binaris poden ser molt llargs, sovint s’utilitzen altres sistemes de numeració per representar-los: són els sistemes de numeració hexadecimal i BCD

Per entendre com funcionen els equips digitals és necessari que sapigueu operar amb nombres binaris, hexadecimals i BCD, i que sapigueu convertir un nombre d’un sistema a un altre.

L’ésser humà fa servir la numeració decimal pel costum dels homes primitius de comptar amb els dits de la mà: d’aquesta manera era més fàcil fer la correspondència entre cada objecte i un dit de la mà.

Amb el temps, aquests homes primitius van haver de representar quantitats per escrit i va sorgir la necessitat d’assignar un símbol o dígit a cada nombre, fet que va originar els deu símbols (dígits) que es fan servir en el sistema decimal:

Però, és clar, normalment volem representar més de deu nombres. Cap problema: sabem que el sistema decimal permet representar qualsevol nombre sencer afegint-hi noves xifres. Així, amb dues xifres decimals, podem representar 100 nombres (del 0 al 99), amb tres xifres podem representar 1.000 nombres (del 0 al 999) i així consecutivament.

Escrivint el nombre com una suma de potències, queda molt més clar per què el sistema decimal es diu que és un sistema en base deu: cada dígit multiplica la base (el 10) elevada a un exponent.

Recordeu aquesta manera de descompondre un nombre perquè us serà molt útil quan estudieu els sistemes binari i hexadecimal.

Així, amb una xifra només podem representar dos nombres: el 0 i l’1. Per representar més de dos nombres hem d’afegir noves xifres a l’esquerra, tal com havíem fet en el cas decimal.

Cada una d’aquestes xifres és el que es coneix com a bit i , per tant, podem dir que un nombre binari es compon d’una sèrie de bits.

• Amb dos bits podem representar quatre nombres: 00, 01, 10 i 11.
• Amb tres bits podem representar vuit nombres: 000, 001, 010, 011, 100, 101, 110 i 111.
• Amb quatre bits podem representar setze nombres: 0000, 0001, 0010, 0011, 0100, 0101, 0110, 0111, 1000, 1001, 1010, 1011, 1100, 1101, 1110 i 1111.
• I així consecutivament.

En la taula podeu veure l’equivalència entre els primers nombres dels sistemes decimal i binari.

Treballar amb nombres binaris de molts dígits no és gaire còmode i és fàcil que ens equivoquem, per exemple, quan hem de copiar un nombre d’un lloc a un altre en un exercici.

Una manera d’intentar fer més llegible els nombres binaris consisteix a separar els nombres grans en grups de quatre bits començant per la dreta.

Per exemple, un nombre tan poc llegible com

es podria escriure de la manera següent:

Fixeu-vos que, en aquest cas, el grup situat més a l’esquerra no té quatre bits sinó dos. Si voleu, podeu representar aquest grup amb quatre bits afegint a l’esquerra els 0 que calguin:

El mecanisme que es fa servir per construir nombres és similar al que hem vist en el sistema decimal i binari:

• Amb una xifra podem representar 16 nombres: del 0 al F. Per representar més de 16 nombres, l’únic que hem de fer és afegir noves xifres hexadecimals a l’esquerra.
• Amb dues xifres podem representar 256 nombres: 00, 01, 02, …, 0F, 10, 11, 12, …, 1F, 20, 21, … 2F, … …, F0, F1, F2, … FF
• Amb tres xifres podem representar 4.096 nombres: 000, 001, …, 00F, 010, …, 0F0, 0F1, 0FF, …, FFA, FFB, …, FFF
• I així consecutivament.

A la taula es representen els primers nombres decimals i la seva correspondència en hexadecimal.

Els sistemes digitals treballen amb el sistema de numeració binari, però els éssers humans pensem amb el sistema de numeració decimal. Per tant, es fa necessari saber convertir nombres binaris en decimals i a l’inrevés.

El sistema de numeració hexadecimal s’utilitza per representar nombres binaris d’una manera més compacta. També es necessari saber convertir nombres hexadecimals al sistema binari i decimal i a l’inrevés.

Per fer totes aquestes conversions s’utilitzen unes tècniques matemàtiques molt senzilles.

Per exemple, l’equivalent decimal del nombre binari 110101₂ es pot calcular de la manera següent:

Podem eliminar els termes que multipliquen per zero:

Ara només cal substituir cada potència pel seu valor decimal (2⁵ = 32, 2⁴ = 16, 2² = 4 i 2⁰ = 1) i fer la suma de tots els termes:

Ja hem acabat! El nombre binari 110101₂ és el nombre decimal 53.

Aquest problema es pot resoldre gràficament, mitjançant una taula com la mostrada a la taula. A la part superior de la taula apareix l’equivalent decimal de les diferents posicions dels dígits binaris (d’esquerra a dreta, des de 2⁷ fins a 2⁰).

A la taula, hi escriurem de dreta a esquerra el nombre binari i després sumar els valors decimals de les caselles que estiguin a 1.

Per exemple, el número binari 10001100 es faria com es mostra a la taula.

Sumem els termes a 1, obtenint:

Un mètode gràfic per convertir un nombre binari a decimal utilitza una taula com la mostrada a la taula. A la part superior de la taula apareix l’equivalent decimal de les diferents posicions dels dígits binaris (d’esquerra a dreta, des de 2⁷ fins a 2⁰).

Per convertir a decimal, únicament calia posar el nombre binari sobre la plantilla, escriure’l de dreta a esquerra i sumar els valors que siguin a 1.

La qüestió que ens ocupa ara és la contrària: a partir del nombre decimal volem obtenir l’equivalent binari. Per fer això, anirem omplint la fila inferior de la plantilla d’esquerra a dreta amb uns o zeros, comptant fins a arribar al nombre decimal desitjat.

Per exemple, volem trobar l’equivalent binari del nombre decimal 89. Utilitzant la plantilla obtindrem el mostrat a la taula.

El raonament que hem seguit per omplir la plantilla és el següent:

1. Comencem per la cel·la de més a l’esquerra (la de pes 128). Posem la cel·la a 0 perquè si la poséssim a 1, el nombre decimal obtingut seria, com a mínim, el 128 i ens passaríem de 89.
2. Continuem amb la següent cel·la a la dreta (la de pes 64). Aquesta la posem a 1 perquè amb 64 encara no arribem a 89.
3. Continuem amb la següent cel·la a la dreta (la de 32). Aquesta la posem a 0 perquè si la poséssim a 1, tindríem 64 + 32 = 96 i ens passaríem de 89.
4. Continuem amb la següent cel·la a la dreta (la de pes 16). Aquesta la posem a 1 perquè així tenim 64 + 16 = 80 i encara no arribem a 89.
5. Continuem amb la següent cel·la a la dreta (la de pes 8). Aquesta la posem a 1 perquè així tenim 64 + 16 + 8 = 88 i encara no arribem a 89.
6. Continuem amb la següent cel·la a la dreta (la de pes 4). Aquesta la posem a 0 perquè si la poséssim a 1, tindríem 64 + 16 + 8 + 4 = 92 i ens passaríem de 89.
7. Continuem amb la següent cel·la a la dreta (la de pes 2). Aquesta la posem a 0 perquè si la poséssim a 1, tindríem 64 + 16 + 8 + 2 = 90 i ens passaríem de 89.
8. Continuem amb la següent cel·la a la dreta (la de pes 1). Aquesta la posem a 1 perquè així tenim 64 + 16 + 8 + 1 = 89 i obtenim el valor decimal desitjat.

Per tant, el nombre binari equivalent al decimal 89 és el 0101 1001₂.

Passar un nombre binari al seu equivalent hexadecimal és molt fàcil, perquè cada dígit hexadecimal es codifica directament amb quatre dígits binaris.

Fixeu-vos que aquest mètode és aplicable a qualsevol nombre binari, independentment del nombre de bits que tingui.

Per a la vostra referència, en la taula teniu les equivalències entre els 16 primers nombres dels sistemes de numeració decimal, binari i hexadecimal.

Quin nombre hexadecimal és el nombre binari 1010 001 1110 1001?

En primer lloc hem de fer grups de quatre bits començant per la dreta, tal com es mostra en la figura següent:

Seguidament, “traduïm” cada grup de quatre bits al seu equivalent hexadecimal (figura següent), segons la correspondència que es mostra a la taula.

Per tant, l’equivalent hexadecimal del nombre binari 1010 0011 1110 10012 és el 0xA3E9

El mètode per convertir un nombre decimal a hexadecimal consisteix a fer dues senzilles accions: en primer lloc es converteix el nombre decimal a binari i, seguidament, es converteix el nombre binari resultant a hexadecimal.

Quin nombre hexadecimal és el 206 decimal?

Primer convertirem el nombre decimal 206 a nombre binari, mitjançant el mètode gràfic, obtenint el número binari 11001110.

A continuació convertim aquest nombre binari a hexadecimal, fent grups de quatre bits i convertint-los al símbol hexadecimal corresponent (figura següent):

Per tant, l’equivalent hexadecimal del nombre decimal 206 és el 0xCE.

Recordeu que el sistema hexadecimal també s’anomena sistema de base setze i, per tant la posició de cada dígit anirà referida a una potència de 16.

Per exemple, l’equivalent decimal del nombre 0x1B2 es calcula així:

Fet això, només ens cal un pas més per passar a decimal: substituir els símbols A, B, C, D, E i F pel seu equivalent decimal (en la taula podeu consultar aquestes equivalències) i operar fins a obtenir un nombre decimal:

El dígit B correspon al nombre decimal 11. Ara només cal substituir cada potència pel seu valor decimal (16² = 256, 16¹ = 16 i 16⁰ = 1) i fer la suma de tots els termes:

Ja hem acabat! El nombre hexadecimal 0x1B2 és el nombre 434 en decimal

Hi ha diferents sistemes per codificar els valors numèrics. Els més utilitzats són els sistemes de numeració decimal, binari i hexadecimal.

Ara bé, els sistemes digitals fan servir altres codificacions, per exemple, per assignar un codi que representi una lletra de l’abecedari o bé que indiqui la posició de l’eix d’un motor.

En casos com aquests es fan servir uns codis dissenyats especialment per satisfer aquestes i altres necessitats. Un d’aquests codis és el BCD, el qual s’utilitza molt en el món dels autòmats programables.

Per passar un nombre decimal al seu equivalent BCD només cal passar cada xifra del nombre decimal al seu equivalent en binari en quatre bits, independentment.

Per exemple, el nombre decimal 9285 seria el nombre 1001 0010 1000 0101 en codi BCD, ja que:

• El 9 és el nombre 1001 en binari.
• El 2 és el nombre 0010 en binari.
• El 8 és el nombre 1000 en binari.
• El 5 és el nombre 0101 en binari.

Fixeu-vos que per representar cada símbol d’un nombre decimal sempre s’utilitzen quatre bits en codi BCD.

Les operacions es realitzen de la mateixa forma que en sistema decimal, però, a causa de la senzillesa del sistema binari, es poden fer algunes simplificacions.

Les possibles combinacions de la suma binària són:

• 0 + 0 = 0
• 0 + 1 = 1
• 1 + 0 = 1
• 1 + 1 = 0, i en porto una

Les tres primeres combinacions són evidents. Però la suma d’1+1, que en decimal sabem que és 2, s’ha d’escriure en binari amb dos dígits (10). Per tant, la suma d’1+1 és 0 i s’arrossega una unitat que se suma a la següent posició a l’esquerra.

El complement a un i el complement a dos són dues eines matemàtiques que faciliten molt les tasques aritmètiques en el sistema binari, sobretot la realització de restes i el treball amb nombres negatius.

Per exemple, el complement a un del nombre 1101 és el nombre 0010.

Per exemple, per calcular el complement a dos del nombre binari 1001 primer calculem el seu complement a un invertint uns i zeros. Ens dóna el nombre 0110. A aquest complement a un li sumem una unitat i ja tenim el complement a dos: 0110 + 1 = 0111.

Generalment s’assumeix que el C2 és la manera de representar el negatiu d’un número binari.

Per exemple, fem la resta 1011011 - 0101110:

• Primer calculem el complement a un del subtrahend:1010001.
• A continuació calculem el complement a dos d’aquest: 1010010.
• Finalment sumem el minuend amb el complement a dos del subtrahend.

En el resultat de la suma ens sobra un bit, ja que arrosseguem un 1 per l’esquerra. Però com que el nombre resultant de la resta no pot ser més gran que el minuend, el bit sobrant s’ignora. Per tant: 1011011 - 0101110 = 0101101.

Amb el sistema decimal, els nombres negatius es representen senzillament precedint-los amb el signe -. En canvi, en el sistema binari no s’utilitza el signe sinó que es fan servir altres mètodes. El mètode més utilitzat és el del complement a 2 (C2).

En la taula es mostra la representació binària des del -128 fins al +127. Si us hi fixeu, el bit de més pes sempre és zero per als nombres positius i sempre és u per als nombres negatius. Aquest bit de més pes s’anomena bit de signe, perquè ens indica si el nombre és positiu (bit de signe a zero) o negatiu (bit de signe a un). La resta de bits s’anomenen magnitud.

L’àlgebra de Boole es basa en el següent:

• Un conjunt d’elements que únicament poden tenir dos valors possibles i que anomenarem 0 i 1.
• Tres operacions que anomenarem suma lògica, producte lògic i negació.

Un element qualsevol de l’àlgebra de Boole es representa amb una lletra que s’anomena variable booleana o, alternativament, variable binària. Així, doncs, cada variable binària té associat un valor 1 o un valor 0.

Les tres operacions bàsiques de l’àlgebra de Boole són les següents:

• Suma lògica. És representada pel signe + i requereix dos operands. Aquesta operació queda definida en la taula.

• Producte lògic. És representat pel signe · i requereix dos operands. Aquesta operació queda definida en la taula.

Taula Producte lògic

a	b
0	0	0
0	1	0
1	0	0
1	1	1

• Negació. És una operació que només requereix un operand. Si l’operand és la variable a, una línia horitzontal sobre aquesta variable indica que està negada o complementada (). Aquesta operació queda definida en la taula.

Taula Negació lògica

a
0	1
1	0

L’àlgebra de Boole és el suport matemàtic per al disseny i l’anàlisi dels sistemes digitals i, com tota àlgebra, disposa d’una sèrie de postulats i teoremes. Segurament les més importants són el teorema d’absorció, molt útil en simplificacions, i el teorema de DeMorgan, el qual ens indica com es converteix un producte lògic en una suma lògica i a l’inrevés.

Anomenem funció lògica una variable binària que pren el valor d’una expressió algebraica formada per altres variables binàries relacionades de la manera que sigui mitjançant les operacions suma lògica, producte lògic i negació.

Per exemple, les següents expressions són funcions lògiques definides per una expressió algebraica:

Per exemple, la funció següent és una suma de productes:

Per exemple, la funció següent és un producte de sumes:

Una taula de veritat és una manera de representar una funció lògica, en la qual es mostra el valor que pren la funció per a cadascuna de les combinacions de les variables d’entrada de la funció.

Per construir la taula de veritat d’una funció lògica s’han de seguir els següents passos:

1. Dibuixar una taula amb:
   • tantes columnes com variables tingui la funció, més una columna addicional
   • tantes files com el nombre de possibles combinacions de les variables d’entrada, més una fila addicional
2. En la fila superior es posen els noms de les variables (en les columnes de l’esquerra) i de la funció (en la columna de la dreta).
3. S’omple la resta de files amb les diferents combinacions de valors de les variables d’entrada, en ordre creixent, com si comptéssim en binari natural.
4. S’omple la columna de la dreta amb el valor que pren la funció per a cada combinació de valors d’entrada.

Taula Taula de veritat de la funció

a	b	c
0	0	0	0
0	0	1	0
0	1	0	1
0	1	1	1
1	0	0	1
1	0	1	0
1	1	0	1
1	1	1	1

Una funció booleana es pot definir indistintament amb una expressió algebraica o amb una taula de veritat. Coneixem el mètode per trobar la taula de veritat d’una funció expressada algebraicament.

El que encara no hem vist és com es fa el pas invers: partir de la taula de veritat d’una funció i trobar una expressió algebraica que descrigui la mateixa funció. Això és el que estudiarem en l’apartat “Formes canòniques d’una funció”.

Abans, però, ens podríem plantejar si hi ha més d’una expressió algebraica que verifiqui una taula de veritat donada. I, efectivament, és això.

La manera més fàcil de descobrir si dues funcions són equivalents és trobar la taula de veritat a partir de cadascuna de les expressions algebraiques i comprovar si donen el mateix resultat.

Com a exemple, veurem si són equivalents les funcions següents:

Primer omplim la taula de veritat de : el resultat el podeu veure a la taula.

Taula Taula de veritat de

a	b
0	0	0
0	1	0
1	0	1
1	1	1

A continuació omplim la taula de veritat de : el resultat el podeu veure a la taula.

Taula Taula de veritat de

a	b
0	0	0
0	1	0
1	0	1
1	1	1

Observant les dues taules, veiem que els resultats de les dues funcions són idèntics. Per tant, i són equivalents.

A continuació veurem com podem trobar una expressió algebraica d’una funció a partir de la seva taula de veritat. Hi ha dues maneres de fer-ho i es coneixen com a formes canòniques.

La primera forma canònica es basa a expressar la funció com una suma de productes que deduirem de la taula de veritat mitjançant el procediment que utilitzem en l’exemple següent:

1. A la taula de veritat, ens fixarem en les combinacions de valors de les variables d’entrada que fan que la funció valgui 1.
2. Per cadascuna d’aquestes combinacions hem de trobar un terme producte, anomenat minterm, amb les següents característiques:
   • Està format per totes les variables de la funció, negades o no.
   • Aquestes variables estan multiplicades.
3. Per saber si la variable ha d’estar negada o no a cada minterm, us heu de fixar en la combinació de valors:
   • Si el valor d’aquesta variable és 0, aquesta variable haurà d’anar negada en el terme producte.
   • Si el valor d’aquesta variable és 1, aquesta variable haurà d’anar directa (no negada) en el terme producte.
4. Finalment, la primera forma canònica s’obté sumant tots els minterms.

La segona forma canònica es basa a expressar la funció com un producte de sumes que deduirem de la taula de veritat mitjançant el següent procediment:

1. A la taula de veritat, ens fixarem en les combinacions de valors de les variables d’entrada que fan que la funció valgui 0.
2. Per cadascuna d’aquestes combinacions hem de trobar un terme producte, anomenat maxterm, amb les següents característiques:
   • Està format per totes les variables de la funció, negades o no.
   • Aquestes variables estan sumades.
3. Per saber si la variable ha d’estar negada o no a cada maxterm, us heu de fixar en la combinació de valors:
   • Si el valor d’aquesta variable és 0, aquesta variable haurà d’anar directa (no negada) en el terme suma.
   • Si el valor d’aquesta variable és 1, aquesta variable haurà d’anar negada en el terme suma.
4. Finalment, la segona forma canònica s’obté multiplicant tots els maxterms.

Fins i tot els sistemes digitals més complexos estan formats per blocs més petits encarregats de fer operacions senzilles amb senyals binaris. Aquests blocs fonamentals són el que coneixem com a portes lògiques.

Cada porta lògica fa una funció determinada; de totes les possibles funcions existents, les portes lògiques bàsiques són aquelles que es constitueixen com a bons elements de disseny de propòsit general. Les portes lògiques bàsiques són la porta AND, la porta OR , la porta NOT, la porta NAND i la porta NOR.

La porta AND fa la funció de producte lògic i rep el nom de la paraula anglesa and, que significa i en català.

La figura mostra el símbols d’una porta AND de dues entrades, però els mateixos símbols serveixen per a un nombre d’entrades més gran, només cal afegir les connexions d’entrada necessàries al símbol.

Com podeu veure en la figura, la làmpada X1 tan sols s’encén (és a dir, la sortida es posa a estat 1 lògic) quan els interruptors A i B estan tancats (és a dir, quan les dues entrades estan a 1 lògic).

La porta OR realitza la funció suma lògica i rep el nom de la paraula anglesa or, que significa o en català.

La figura mostra el símbols d’una porta OR de dues entrades, la seva expressió algebraica i la seva taula de veritat.

Com podeu veure en la figura, la làmpada X2 s’encén (és a dir, la sortida es posa a estat 1 lògic) quan, com a mínim, un dels dos interruptors A i B està tancat.

Aquesta porta, també coneguda com a inversor, només té una entrada i realitza la funció de negació, de manera que la sortida és 1 si l’entrada és 0 i la sortida és 0 si l’entrada és 1.

La figura mostra els símbols d’una porta NOT, la seva expressió algebraica i la seva taula de veritat.

El nom d’aquesta porta prové de la unió de les paraules angleses notiand i, com el seu nom indica, és una porta AND amb la sortida invertida.

La figura mostra els símbols d’una porta NAND, la seva expressió algebraica i la seva taula de veritat.

La sortida d’una porta NOR és la invertida d’una porta OR. El seu nom prové de la unió de les paraules angleses noti or.

La figura mostra els símbols d’una porta NOR, la seva expressió algebraica i la seva taula de veritat.

També anomenada porta OR-exclusiva. La seva sortida és 1 només quan les dues variables d’entrada tenen valors diferents.

L’operador XOR en les expressions algebraiques és el símbol , un signe de suma encerclat.

En el cas de tenir més de dues entrades, podeu recordar com funciona una porta XOR si recordeu el següent:

La figura 14 mostra els símbols d’una porta XOR, la seva expressió algebraica i la seva taula de veritat.