|
Per enviar les respostes als exercicis, elaborareu un document del Word
en el qual:
- Posareu un títol per a cada exercici (no cal que hi copieu els enunciats).
- Redactareu, breument, els comentaris adients.
- Inserireu els gràfics que es demanen.
En aquest mòdul heu d'enviar les respostes als tres primers exercicis
i a un, si més no, dels opcionals.
- L'exercici 1 enllaça directament amb la pràctica
1; l'exercici 2 amb la pràctica
5 i l'exercici 3 amb la pràctica
4. Aquestes són les tres pràctiques que s'han assenyalat
com a fonamentals en les orientacions per al seguiment del mòdul.
- Pel que fa als exercicis opcionals:
- El quart és un exercici sobre la
pràctica 2
- El cinquè dóna el punt de vista
numèric al resultat empíric que permet aproximar la
distribució binomial mitjançant la normal.
- El sisé estudia un model nou de distribució
de probabilitat contínua
- Finalment, el setè és, gaire
bé, un tema obert d'investigaciío.
- Distribució normal.
Suposeu (encara que no sigui del tot cert) que es pot inferir que les
notes de selectivitat de l'alumnat preinscrit a una facultat concreta
segueixen un model teòric donat per l'estadística d'anys
anteriors, i aquest model és una distribució normal amb
una mitjana de 6,4 punts i una desviació estàndard d'1,0
punts.
- Quina és la probabilitat que un alumne tregui exactament
7,123456? I que tregui 7,2800000?
- Quina és la probabilitat que la nota d'una alumna, arrodonida
als centèsims, sigui de 7,28?
- Quina és la probabilitat que un alumne tregui més
de 7,28? I que la seva nota arrodonida als centèsims sigui més de
7,28?
- Quina és la probabilitat que tregui entre 5,70 i 7,50?
I que la nota arrodonida als centèsims estigui entre 5,70 i 7,50
(valors inclosos)?
- Quina és la nota de tall que cal superar per entrar a l'esmentada
facultat si només hi pot entrar el 10 % dels inscrits?
- Quines notes delimiten l'interval on queda el 80 % de les notes
centrades en la mitjana?
- Comparació de normals
Representeu, en un mateix gràfic, les funcions de densitat de
tres distribucions normals de mitjana 25 i desviacions estàndard
2, 4 i 6, respectivament.
- L'enquesta.
S'ha fet una enquesta a 1.400 persones en una població on el
42 % de les persones eren partidaris del partit ABC.
- Quina és la probabilitat que en l'enquesta s'obtinguin
entre un 39 % i un 45 % favorables a ABC?
- Quin és l'interval en què, amb una probabilitat
del 95 %, quedarà la proporció mostral de persones
favorables a A? (Doneu-lo centrat en la mitjana o valor esperat,
és a dir, el 42 %, i indiqueu quin seria el marge d'error
amb què es dóna la resposta, de manera semblant a
allò que s'ha fet en la pràctica
4.)
- (Opcional) Partícules
radioactives.
La vida mitjana d'unes partícules radioactives molt poc estables
és de 22 segons.
- Quina proporció de matèria d'aquestes característiques
podem pensar que romandrà al cap de 22 segons? (Penseu que
22 segons és la mitjana.) I al cap de 25 segons?
- Quant de temps ha de passar perquè només quedi la
meitat de la matèria radioactiva? I perquè perdi el
75 % del total?
-
(Opcional) Aproximació de la binomial per la normal.
Jutgeu numèricament la bondat de l'ajustament de la distribució
binomial mitjançant la normal. A les pràctiques 3
i 4 d'aquest mòdul heu estudiat casos d'aproximació
de la binomial mitjançant la normal i s'ha formulat estrictament
quins són els valors que cal considerar.
- Calculeu el valor de p(X = 12) en la binomial B(40,
0,25); calculeu, també, el valor de p[11,5
Xn 12,5] en la distribució normal
N(10, 2,739) i el valor de f(12) en la funció
de densitat de probabilitat associada a aquesta normal. Comenteu
els valors observats.
- Compareu ara els valors de p[X=18] en la distribució
binomial de n = 60, p = 0,3 amb el valor que s'obté
si es calcula la p[17,5 < Xn< 18,5]
en la corresponent distribució normal i amb el valor de f(18)
si és f la funció de densitat d'aquesta distribució
normal.
- Finalment, compareu els valors numèrics que dóna
l'ordinador per a p[X=45], en la distribució binomial
de n = 100, p = 0,45 amb el valor que s'obté
si es calcula la p[44,5 < Xn< 45,5]
corresponent a la distribució normal associada, que és
la que té mitjana n · p = 45 i desviació
estàndard 4,975. Calculeu, també, com en els apartats
anteriors, f(45).
- (Opcional) La línia d'autobusos.
En l'exposició de la distribució uniforme hem presentat
un exemple que
ara variarem lleugerament. En una línia d'autobusos, aquests
passen exactament cada 10 minuts. Una persona que els fa servir sovint
procura anar-hi sempre més o menys a la meitat de l'interval
entre pas i pas. Tanmateix, les circumstàncies fan que tant es
pugui retardar una mica com avançar, però amb la idea
prioritària ja indicada.
- Un amic seu li diu que el model de probabilitat
que regula l'estona que haurà d'esperar l'autobús
té una funció de densitat amb aquesta gràfica:
Sabent que l'àrea total sota la funció
de densitat és 1, calculeu l'altura del triangle i, per
raonaments geomètrics, calculeu també la probabilitat
que s'hagi d'esperar entre 4 i 6 minuts.
- Una amiga, estudiant d'estadística, li
diu, en canvi, que el temps d'espera segurament estarà modelitzat
per una distribució normal de mitjana 5 minuts i desviació
estàndard 1,5 minuts. Si fos realment així, quina
seria la probabilitat d'esperar-se entre 4 i 6 minuts?
- (Opcional) Exemples diversos.
Digueu, raonadament (amb raonaments gràfics o numèrics
i confrontant si cal dades empíriques amb valors de probabilitat),
quina o quines de les situacions següents us sembla que poden ser
modelitzades per una distribució exponencial i, en cas contrari,
proposeu un model.
- El minut en què es marca el primer gol
en un partit de futbol.
- La durada d'unes piles elèctriques de les
quals ens han donat la taula següent, referida a 500 unitats:
Durada en hores |
Freqüència |
0 - 50
50 - 100
100 - 150
150 - 200
200 - 250
250 - 300
300 - 350
350 - 400
|
208
112
75
40
30
18
11
6 |
- La durada dels pneumàtics de cotxe d'una
determinada marca.
|